练习题 - 传纸条(动态规划)

前言

算法拾遗继续。传纸条里面也可以有算法题。

题目

问题描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个m行n列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用0表示),可以用一个0-100的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入(message.in)

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n,表示班里有m行n列(1<=m,n<=50)。
接下来的m行是一个m*n的矩阵,矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出(message.out)

输出文件message.out共一行,包含一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例

message.in

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

message.out

34

数据规模

30%的数据满足:1<=m,n<=10
100%的数据满足:1<=m,n<=50

解答

本题适合用动态规划求解,不过因为规定来去两次纸条传递不能经过同一中间节点,且事实上正向传递和逆向传递可以看出两次正向传递,因此本题的状态转移需要同时考虑从起点(0, 0)到两个不同终点的不交叉路径。为了降维处理,可以把坐标(x, y)表示为值为x * m + y的一个变量(也即,i表示点(i % m, i /m))。非临界状态的状态转移方程如下:

b[i][j] = b[i][j] = domax(b[i - 1][j - m], b[i - m][j - m], b[i - 1][j - 1], b[i - m][j - 1]) + a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];

具体代码实现如下。

#include <stdio.h>
#define MIN 0

FILE *in, *out;
int m, n, a[50][50] = {0};
int b[2501][2501] = {0}, maxans = 0;

int domax(int x1, int y1, int num0, int num1, int num2) {
  int max = MIN;
  if (x1 > y1)
    max = b[y1][x1];
  else if (x1 < y1)
    max = b[x1][y1];

  if (num0 > max)
    max = num0;

  if (num1 > max)
    max = num1;

  if (num2 > max)
    max = num2;

  return (max);
}

int main() {
  int i, j;

  in = fopen("message.in", "r");
  fscanf(in, "%d%d", &m, &n);
  for (i = 0; i < m; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
      fscanf(in, "%d", &a[i][j]);
  fclose(in);

  b[0][0] = 0;

  i = 0;
  for (j = i + 1; j < n * m - 1; j++)
    if (j < m)
      b[i][j] = b[i][j - 1] + a[j % m][j / m];
    else if (j % m == 0)
      b[i][j] = b[i][j - m] + a[j % m][j / m];
    else
      b[i][j] = domax(i, j - m, b[i][j - 1], MIN, MIN) + a[j % m][j / m];

  for (i = 1; i < m * n - m; i++)
    for (j = i + 1; j < m * n - 1; j++)
      if (i < m) {
        if (j < m)
          b[i][j] = 0;
        else if (j % m == 0)
          b[i][j] = b[i - 1][j - m] + a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
        else if (j == i + m)
          b[i][j] = b[i - 1][j - 1] + a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
        else
          b[i][j] = domax(i - 1, j - m, b[i - 1][j - 1], MIN, MIN) +
                    a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
      } else if (i % m == 0) {
        if (j % m == 0)
          b[i][j] = 0;
        else if (j == i + m)
          b[i][j] = b[i - m][j - 1] + a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
        else
          b[i][j] = domax(i - m, j - m, b[i - m][j - 1], MIN, MIN) +
                    a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
      } else {
        if (j % m == 0)
          b[i][j] = domax(i - 1, j - m, b[i - m][j - m], MIN, MIN) +
                    a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
        else if (j == i + m)
          b[i][j] = domax(i - 1, j - 1, b[i - m][j - 1], MIN, MIN) +
                    a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
        else
          b[i][j] = b[i][j] = domax(i - 1, j - m, b[i - m][j - m],
                                    b[i - 1][j - 1], b[i - m][j - 1]) +
                              a[i % m][i / m] + a[j % m][j / m];
      }

  maxans = b[n * m - m - 1][n * m - 2];
  out = fopen("message.out", "w");
  fprintf(out, "%d\n", maxans);
  fclose(out);

  return 0;
}

另外,本题也是一个寻找两条不交叉最长路径的图论题目。

参考


* cached version, generated at 2018-12-06 03:43:09 UTC.

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